Question

【題目】函數是實數集上的奇函數，當時，

（1）求的值和函數的表達式；

（2）求方程在上的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）； （2）方程在上有3個零點.

【解析】

（1）利用函數的奇偶性的性質，轉化求解．利用函數的奇偶性，求解函數解析式即可．
（2）因為f（2）=log22+2-3=0，所以方程f（x）=0在區間（0，+∞）上有解x=2，又方程f（x）=0可化為log2x=3-x，設函數g（x）=log2x，h（x）=3-x，證明方程g（x）=h（x）在區間（0，+∞）上只有一個解即可．又函數是實數集上的奇函數，所以方程在區間上有解，且，所以方程在上有3個零點.

（1）由題知，函數是實數集上的奇函數，

所以，即.（2分）

又函數是實數集上的奇函數，所以.（3分）

當時，所以，

所以，即.

所以;

（2）易知在區間上為增函數，

因為由零點存在定理，可知方程上有唯一解.

又函數是實數集上的奇函數，所以方程在區間上有解，

且，所以方程在上有3個零點.