Question

已知函數f(x)的導函數為f ′(x)，且對任意x＞0，都有f ′(x)＞．

（Ⅰ）判斷函數F(x)＝在(0，＋∞)上的單調性；

（Ⅱ）設x₁，x₂∈(0，＋∞)，證明：f(x₁)＋f(x₂)＜f(x₁＋x₂)；

（Ⅲ）請將（Ⅱ）中的結論推廣到一般形式，并證明你所推廣的結論．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數；（Ⅱ）f(x₁)＋f(x₂)＜f(x₁＋x₂)；（Ⅲ）f(x₁)＋f(x₂)＋…＋f(x_n)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n).

【解析】

試題分析：（Ⅰ）判斷F(x)的單調性，則需對F(x)求導，得F′(x)＝，∵f ′(x)＞，x＞0，則xf ′(x)－f(x)＞0，即F′(x)＞0，F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數.（Ⅱ）要證明f(x₁)＋f(x₂)＜f(x₁＋x₂)，可以從第（Ⅰ）的結論入手，∵x₁＞0，x₂＞0，∴0＜x₁＜x₁＋x₂，F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數，則F(x₁)＜F(x₁＋x₂)，即＜，而x₁＞0，所以f(x₁)＜f(x₁＋x₂)，同理f(x₂)＜f(x₁＋x₂)，兩式相加，得f(x₁)＋f(x₂)＜f(x₁＋x₂)，得證.（Ⅲ）（Ⅱ）中結論的推廣形式為：設x₁，x₂，…，x_n∈(0，＋∞)，其中n≥2，則f(x₁)＋f(x₂)＋…＋f(x_n)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)．證明的方法同（Ⅱ）的證明，∵x₁＞0，x₂＞0，…，x_n＞0，∴0＜x₁＜x₁＋x₂＋…＋x_n．F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數，F(x₁)＜F(x₁＋x₂＋…＋x_n)，即＜，而x₁＞0，所以f(x₁)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)，同理f(x₂)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)，……

f(x_n)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)，以上n個不等式相加，得f(x₁)＋f(x₂)＋…＋f(x_n)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)，得證.

試題解析：（Ⅰ）對F(x)求導數，得F′(x)＝．

∵f ′(x)＞，x＞0，∴xf ′(x)＞f(x)，即xf ′(x)－f(x)＞0，

∴F′(x)＞0．

故F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數．

（Ⅱ）∵x₁＞0，x₂＞0，∴0＜x₁＜x₁＋x₂．

由（Ⅰ），知F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數，

∴F(x₁)＜F(x₁＋x₂)，即＜．

∵x₁＞0，∴f(x₁)＜f(x₁＋x₂)．

同理可得f(x₂)＜f(x₁＋x₂)．

以上兩式相加，得f(x₁)＋f(x₂)＜f(x₁＋x₂)．

（Ⅲ）（Ⅱ）中結論的推廣形式為：

設x₁，x₂，…，x_n∈(0，＋∞)，其中n≥2，則f(x₁)＋f(x₂)＋…＋f(x_n)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)．

∵x₁＞0，x₂＞0，…，x_n＞0，

∴0＜x₁＜x₁＋x₂＋…＋x_n．

由（Ⅰ），知F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數，

∴F(x₁)＜F(x₁＋x₂＋…＋x_n)，即＜．

∵x₁＞0，

∴f(x₁)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)．

同理可得

f(x₂)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)，

f(x₃)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)，

……

f(x_n)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)．

以上n個不等式相加，得f(x₁)＋f(x₂)＋…＋f(x_n)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)．

考點：1.利用導數求單調性；2.利用函數單調性證明不等式.