Question

【題目】對于函數y=f（x），如果存在區間[m，n]，同時滿足下列條件：
1）f（x）在[m，n]上是單調的；
2）當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]，則稱[m，n]是該函數的“和諧區間”．若函數f（x）= ﹣ （a＞0）存在“和諧區間”，則實數a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】0＜a＜1
【解析】解：由題意可得函數 在區間[m，n]是單調遞增的，
∴[m，n]（﹣∞，0）或[m，n]（0，+∞），則f（m）=m，f（n）=n，
故m、n是方程f（x）=x的兩個同號的不等實數根，
即 ，
即方程ax2﹣（a+1）x+a=0有兩個同號的實數根，
∵mn= ，
故只需△=（a+1）2﹣4a2＞0，解得 ＜a＜1，
∵a＞0，
∴0＜a＜1．
所以答案是：0＜a＜1．
【考點精析】通過靈活運用函數的值域和函數單調性的判斷方法，掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最�。ù螅�數，這個數就是函數的最�。ù螅┲担�因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較即可以解答此題．