Question

【題目】已知橢圓 + =1（a＞b＞0）的左右焦點F1 ， F2其離心率為e= ，點P為橢圓上的一個動點，△PF1F2內切圓面積的最大值為 ．
（1）求a，b的值
（2）若A、B、C、D是橢圓上不重合的四個點，且滿足 ， =0，求| |+| |的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設△PF1F2內切圓半徑為r，

由△PF1F2的面積為S= r（PF1+PF2+F1F2）= r（2a+2c），

S最大，則r最大，

當P為橢圓上下頂點時，△PF1F2的面積最大，其內切圓面積取得最大值，

∵ ，∴ ．

= =bc= r= ，化為 ，

又 ，a2=b2+c2，聯立解得a=4，c=2，b=2

（2）解：∵滿足 =0，

∴直線AC，BD垂直相交于點F1，

由（1）橢圓方程 ，F1（﹣2，0）．

①直線AC，BD有一條斜率不存在時，| |+| |=6+8=14．

②當AC斜率存在且不為0時，設方程y=k（x+2），A（x1，y1），C（x2，y2），

聯立 ，化為（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣48=0．

∴x1+x2= ，x1x2= ，

∴ = = ，

把﹣ 代入上述可得：可得| |= ，

∴| |+| |= ，

設t=k2+1（k≠0），t＞1．

∴| |+| |= ，∵t＞1，∴ ，

∴| |+| |∈ ．

綜上可得：| |+| |的取值范圍是

【解析】（1）當P為橢圓上下頂點時，△PF1F2內切圓面積取得最大值，設△PF1F2內切圓半徑為r，利用 = =bc= r，化為 ，又 ，a2=b2+c2 ， 聯立解得a，c，b即可得出．（2）由滿足 ， =0，可得直線AC，BD垂直相交于點F1 ， 由（1）橢圓方程 ，F1（﹣2，0）．①直線AC，BD有一條斜率不存在時，| |+| |=14．②當AC斜率存在且不為0時，設方程y=k（x+2），A（x1 ， y1），C（x2 ， y2），與橢圓方程聯立化為（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣48=0．利用根與系數的關系可得： = = ，把﹣ 代入上述可得：可得| |= ，可得| |+| |= ，設t=k2+1（k≠0），t＞1．即可得出．