【題目】如圖，在四棱錐
中，側面
是等邊三角形，且平面
平面
、E為
的中點，
，
，
，
.
（1）求證：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）證明見解析（2）
【解析】
（1）取
中點F，連結
，
，先證四邊形
為平行四邊形，進而可得
，進而可得
平面
；
（2）建立空間直角坐標系，求出平面
和平面
的法向量，利用兩法向量所成角的余弦值可得二面角
的余弦值.
（1）如圖，取中點F，連結，.
因為E為
中點，
，所以
，
.
又因為
，
，所以
，
，
所以四邊形為平行四邊形.
所以.
又因為
平面，
平面，
所以平面.
（2）取
中點O，連結
，
.
因為
為等邊三角形，所以
.
又因為平面
平面
，平面
平面
，
所以
平面.
因為
，
，
所以四邊形
為平行四邊形.
因為
，所以
.
如圖建立空間直角坐標系
，
則
，
，
，
，
.
所以
，
，
設平面的一個法向量為
，
則
即
令
，則
，
顯然，平面的一個法向量為
，
則
即
令
，則
，
所以
.
由題知，二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，
，
是橢圓
：
上的三點，其中的坐標為
，
過橢圓的中心，且橢圓長軸的一個端點與短軸的兩個端點構成正三角形.
（1）求橢圓的方程；
（2）當直線的斜率為1時，求
面積；
（3）設直線
：
與橢圓交于兩點
，
，且線段
的中垂線過橢圓與
軸負半軸的交點
，求實數
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（
，
）的周期為
，圖象的一個對稱中心為
，將函數
圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得到的圖象向右平移
個單位長度后得到函數
的圖象.
（1）求函數
與的解析式；
（2）求證：存在
，使得
，
，
能按照某種順序成等差數列.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知雙曲線
的左，右焦點分別為
，
，點P為雙曲線C右支上異于頂點的一點，
的內切圓與x軸切于點
，則a的值為______，若直線
經過線段
的中點且垂直于線段，則雙曲線C的方程為________________.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】有一塊鐵皮零件，其形狀是由邊長為
的正方形截去一個三角形
所得的五邊形
，其中
，如圖所示.現在需要用這塊材料截取矩形鐵皮
，使得矩形相鄰兩邊分別落在
上，另一頂點
落在邊
或
邊上.設
，矩形的面積為
.
（1）試求出矩形鐵皮的面積
關于
的函數解析式，并寫出定義域；
（2）試問如何截�。�取何值時），可使得到的矩形的面積最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，橢圓的兩焦點與橢圓短軸的一個端點構成等邊三角形，右焦點到右頂點的距離為1.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）是否存在與橢圓C交于A，B兩點的直線l：
，使得
成立？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
給定橢圓
，稱圓心在原點
，半徑為
的圓是橢圓Ｃ的“準圓”.若橢圓C的一個焦點為
，其短軸上的一個端點到Ｆ的距離為
.
（I）求橢圓Ｃ的方程和其“準圓”方程；
(II )點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過點P作直線
，使得與橢圓C都只有一個交點，且分別交其“準圓”于點M，N.
（1）當P為“準圓”與
軸正半軸的交點時，求的方程；
（2）求證：|MN|為定值.
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