Question

【題目】已知三棱錐中，平面平面， 則三棱錐的外接球的表面積為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

利用已知三棱錐A﹣BCD的特點AB＝AD，先確定△ABD的外心O，及外接圓的半徑，然后證明O也是三棱錐A﹣BCD的外接球的球心，從而得到外接球的半徑，即可得到外接球表面積．

如圖取BD的中點E，連接AE，CE，則AE⊥BD，CE⊥BD．

∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴AE⊥平面BCD，

又∵CE平面BCD，∴AE⊥CE．

設△ABD的外接圓的圓心為O，半徑為r．

∵AB＝AD，∴圓心O在AE所在的直線上．

∴r2＝BE2+OE2＝BE2+（r﹣AE）2．

∵在Rt△BCD中，BD＝＝4，∴BE＝EC＝2．

∴在Rt△ABE中，AE＝＝2．∴r2＝8+（r﹣2）2，解得r＝3，∴OE＝1．

在Rt△OEC中，OC＝＝3，∴OA＝OB＝OC＝OD＝3．

∴點O是三棱錐A﹣BCD的外接球的球心，且球半徑R＝3．

∴球的表面積S＝4πR2＝36π．

故答案為：36π