Question

【題目】已知函數f(x)＝(2x－x2)ex－1.

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)若對任意x≥1，都有f(x)－mx－1＋m≤0恒成立，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：

（1）求出導函數，由不等式得增區間；由不等式得減區間；

（2）設，由可得，下面只要在的情況下研究問題．求出導函數，要研究的正負，因此再設，再求出導函數，可得時， ，即在上是遞減的，因此得，按和分類討論研究的最大值可得結論．

試題解析：

(1)由已知得f′(x)＝(－x2＋2)ex－1，當f′(x)<0，即－x2＋2<0時，x<－或x>；

當f′(x)>0，即－x2＋2>0時，－ <x<，所以f(x)在(－∞，－)上單調遞減，在(－，)上單調遞增，在(，＋∞)上單調遞減．

(2)令g(x)＝(2x－x2)ex－1－mx－1＋m，x≥1，

由已知可得g(2)≤0，即m≥－1，下面只要考慮m≥－1的情況即可．

g′(x)＝(2－x2)ex－1－m，令h(x)＝(2－x2)ex－1－m，則h′(x)＝－(x2＋2x－2)ex－1，

因為x≥1，所以x2＋2x－2>0，所以h′(x)<0，

所以h(x)在[1，＋∞)上單調遞減，即g′(x)在[1，＋∞)上單調遞減，則g′(x)≤g′(1)＝1－m.

①當1－m≤0，即m≥1時，此時g′(x)≤0，所以g(x)在[1，＋∞)上單調遞減，所以g(x)≤g(1)＝0，滿足條件；

②當1－m>0，即－1≤m<1時，此時g′(1)>0，g′(2)＝－2e－m<0，所以存在x0∈(1，2)，使得g′(x0)＝0，則當1<x<x0時，g′(x)>0；當x>x0時，g′(x)<0，所以g(x)在[1，x0]上單調遞增，在(x0，＋∞)上單調遞減，所以當x∈[1，x0]時，g(x)≥g(1)＝0，此時不滿足條件．

綜上所述，實數m的取值范圍為[1，＋∞)．