Question

【題目】函數.

（1）求的單調區間；

（2）在函數的圖象上取兩個不同的點，令直線AB的斜率

為k，則在函數的圖象上是否存在點，且，使得？若存

在，求A，B兩點的坐標，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當時，增區間為，減區間為及；當時，減區間為；當時，增區間為，減區間為及；當時，減區間為，增區間為；（2）不存在，理由見解析.

【解析】

（1）先求函數的導數，然后對進行分類討論，判斷導數的正負，確定函數的單調區間，即可.

（2）假設存在，即滿足，分別求與，從而證明存在，變形整理，證明存在，令，變形整理證明，利用導數判斷單調性，求解即可.

（1）由題知定義域為，

,

當時，，

令，解得，，解得，

即函數在上單調遞增，在 及上單調遞減；

②當時，，在上，

即函數在上單調遞減；

③當時，，

令，解得，，解得，

即函數在上單調遞增，在 及上單調遞減；

④當時，

令，解得，，解得，

即函數在上單調遞增，在 上單調遞減；

綜上所述：

當時，增區間為，減區間為及；

當時，減區間為；

當時，增區間為，減區間為及；

當時，減區間為，增區間為；

（2）假設存在，即滿足，

因為已知，不妨令，

則

，

而，

由，

得存在，也就是證存在，

只要證存在，令，故轉化為存在，

即需要證明，令，

則有故在上單調遞增，所以，

故不存在.