Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知：，橢圓：，為橢圓右頂點.過原點且異于坐標軸的直線與橢圓交于，兩點，直線與的另一交點為，直線與的另一交點為，其中.設直線，的斜率分別為，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）記直線，的斜率分別為，，是否存在常數，使得？若存在，求值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）見解析.

【解析】

設，代入橢圓方程，運用直線的斜率公式，化簡即可求出答案

通過聯立直線的方程和圓的方程求出點的坐標，然后聯立直線的方程和橢圓的方程求出點的坐標，再求直線和直線的斜率，看是否兩個斜率之間有關系，即可得證

（Ⅰ）設則，且，

∴ k1k2＝·＝＝＝－.

（Ⅱ）解　由題意得直線AP的方程為y＝k1(x－2)，聯立

得(1＋k)x2－4kx＋4(k－1)＝0，設P(xp，yp)，

解得xp＝，yp＝k1(xp－2)＝，

聯立得(1＋4k)x2－16kx＋4(4k－1)＝0，設B(xB，yB)，

解得xB＝，yB＝k1(xB－2)＝，

∴kBC＝＝，kPQ＝＝＝，

∴kPQ＝kBC，故存在常數λ＝，使得kPQ＝kBC，