Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為矩形．平面，分別為的中點，與平面所成的角為．

（1）證明：為異面直線與的公垂線；

（2）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

（1）要證為異面直線與的公垂線，即證，，轉證線面垂直即可；（2）以為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸，建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，代入公式即可得到結果.

（1）連接、交于點，連接、．

因為四邊形為矩形，且、分別是、的中點，

所以，且．

又平面，所以平面，所以．

又，，所以平面，所以．

因為與平面所成的角為，所以，

從而．所以．

取的中點，連接、，則由、分別為、的中點，

從而，從而四邊形為平行四邊形．

又由，知．

又平面，所以．

又，從而平面．

從而平面．平面，從而．

綜上知為異面直線與的公垂線．

（2）因為，設，則，

從而，所以，

以為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸，建立空間直角坐標系，

則、、、，

從而，，．

設平面的一個法向量為，則，

令，從而得．

同理，可求得平面的一個法向量為．

設二面角的平面角為，從而．