Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，，，，直線與平面所成的角為，是的中點.

（1）求證：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）根據已知可以證明出為平行四邊形，利用平行四邊形的性質，結合余弦定理，勾股定理的逆定理，根據線面、面面垂直的判定定理進行證明即可；

（2）設為中點，連接，，則，由（1）中的結論可以證明平面平面，從而有平面，為直線與平面所成的角，利用銳角的三角函數值定義進行求解即可.

（1）由已知，，且，則為平行四邊形，

，又，則，由知，

則為正三角形，

在中，，，

由余弦定理知，，

有，，

又，，則平面，

而平面，則平面平面.

（2）設為中點，連接，，則，

因為平面，平面，則平面平面，

則平面，為直線與平面所成的角，

又直線與平面所成的角為，則，

又，，

所以在中，，

即直線與平面所成角的正切值為.