Question

已知函數的圖象在與軸交點處的切線方程是.
（I）求函數的解析式；
（II）設函數，若的極值存在，求實數的取值范圍以及函數取得極值時對應的自變量的值.

Answer 1

（I）；（II）時，函數有極值；
當時，有極大值；當時，有極小值.

解析試題分析：（ I）涉及切線，便要求出切點.本題中切點如何求？函數的圖象在與軸交點處的切線方程是.說明切點就是直線與軸交點，所以令便得切點為(2,0).切點既在切線上又曲線，所以有, 即.
函數在切點處的導數就是切線的斜率，所以由已知有即.這樣便得一個方程組，解這個方程組求出 便的解析式.
（II）將求導得，，
令.這是一個二次方程，要使得函數有極值，則方程要有兩個不同的實數根，所以，由此可得的范圍.解方程有便得取得極值時的值.
試題解析：（ I）由已知,切點為(2,0), 故有, 即
又，由已知得
聯立①②，解得.所以函數的解析式為  
（II）因為
令
當函數有極值時，則，方程有實數解，                                           由，得.
①當時，有實數，在左右兩側均有，故函數無極值
②當m<1時,g'(x)=0有兩個實數根x₁= (2 ), x₂= (2+), g(x),g'(x) 的情況如下表：

	+	0