Question

【題目】已知函數f（x）=ax（lnx﹣1）（a≠0）．
（1）求函數y=f（x）的單調遞增區間；
（2）當a＞0時，設函數g（x）= x3﹣f（x），函數h（x）=g′（x），
①若h（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍；
②證明：ln（1×2×3×…×n）2e＜12+22+32+…+n2（n∈N*）．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=ax（lnx﹣1）的導數為f′（x）=a（lnx﹣1）+a=alnx，

當a＞0時，x＞1時，f′（x）＞0，f（x）遞增；0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減；

當a＜0時，0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）遞增；x＞1時，f′（x）＜0，f（x）遞減．

即有a＞0，f（x）的遞增區間為（1，+∞）；

a＜0時，f（x）的遞增區間為（0，1）

（2）①當a＞0時，設函數g（x）= x3﹣f（x）= x3﹣ax（lnx﹣1），

函數h（x）=g′（x）= x2﹣alnx，x＞0，

h（x）≥0恒成立，即為 ≥ 的最大值，

由y= 的導數為 ，當x＞ 時，函數y遞減；

當0＜x＜ 時，函數y遞增，即有x= 取得最大值 ，

則有 ≥ ，解得0＜a≤e；

②證明：由①可得 ＜ ，x∈N，

即有2elnn＜n2，

可得2e（ln1+ln2+ln3+…+lnn）＜12+22+32+…+n2，

則ln（123…n）2e＜12+22+32+…+n2（n∈N*）．

【解析】（1）對f（x）進行求導，f′（x）=a（lnx﹣1）+a=alnx，對a進行分類討論得到單調區間，（2）①當a＞0時，對g（x）進行求導，由題意可得的最大值，求出右邊函數的導數，求得單調區間、極值和最值，即可得到所求a的范圍，②由①可得,,可得，由累加法和對數的運算性質即可得證.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．