Question

【題目】已知圓：.

（1）直線過點，且與圓交于兩點，若，求直線的方程；

（2）過圓上一動點作平行于軸的直線，設與軸的交點為，若向量，求動點的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線.

Answer 1

【答案】（1）或；

（2）軌跡是焦點坐標為，長軸長為的橢圓，并去掉兩點.

【解析】

試題分析：（1）當斜率不存在是，直線方程為，與圓的兩個交點坐標為和，其距離為，滿足題意.當斜率存在時，用點斜式設出直線方程為，利用圓的弦長公式有，和點到直線距離公式，可求得，故直線為或；（2）設點的坐標為，點坐標為，則點坐標是.利用已知，代入點的坐標化簡得，.而，故的軌跡方程是 （）.

試題解析：

（1）①當直線垂直于軸時，則此時直線方程為，與圓的兩個交點坐標為和，其距離為，滿足題意.

②若直線不垂直于軸，設其方程為，即.

設圓心到此直線的距離為，則，得，∴，，

故所求直線方程為.

綜上所述，所求直線方程為或.

（2）設點的坐標為，點坐標為，則點坐標是.

∵，∴，即，.

又∵，∴.

由已知，直線軸，∴，

∴點的軌跡方程是 （），

軌跡是焦點坐標為，長軸長為8的橢圓，并去掉兩點.