Question

【題目】已知函數f（x）=ex（x2﹣a），a∈R．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）若函數f（x）在（﹣3，0）上單調遞減，試求a的取值范圍；
（3）若函數f（x）的最小值為﹣2e，試求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知f'（x）=ex（x2+2x﹣a）．

因為a=1，則f（0）=﹣1，f'（0）=﹣1，

所以函數f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y﹣（﹣1）=﹣（x﹣0）．

即x+y+1=0．

（2）解：因為函數f（x）在（﹣3，0）上單調遞減，

所以當x∈（﹣3，0）時，f'（x）=ex（x2+2x﹣a）≤0恒成立．

即當x∈（﹣3，0）時，x2+2x﹣a≤0恒成立．

顯然，當x∈（﹣3，﹣1）時，函數g（x）=x2+2x﹣a單調遞減，

當x∈（﹣1，0）時，函數g（x）=x2+2x﹣a單調遞增．

所以要使得“當x∈（﹣3，0）時，x2+2x﹣a≤0恒成立”，

等價于 即 所以a≥3．

（3）解：設g（x）=x2+2x﹣a，則△=4+4a．

①當△=4+4a≤0，即a≤﹣1時，g（x）≥0，所以f'（x）≥0．

所以函數f（x）在（﹣∞，+∞）單增，所以函數f（x）沒有最小值．

②當△=4+4a＞0，即a＞﹣1時，令f'（x）=ex（x2+2x﹣a）=0得x2+2x﹣a=0，

解得

隨著x變化時，f（x）和f'（x）的變化情況如下：

x
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

當x∈ 時， ．

所以 ．

所以f（x）=ex（x2﹣a）＞0．

又因為函數f（x）的最小值為﹣2e＜0，

所以函數f（x）的最小值只能在 處取得．

所以 ．

所以 ．

易得 ．

解得a=3．

以下證明解的唯一性，僅供參考：

設

因為a＞0，所以 ， ．

設 ，則 ．

設h（x）=﹣xex，則h'（x）=﹣ex（x+1）．

當x＞0時，h'（x）＜0，從而易知g（a）為減函數．

當a∈（0，3），g（a）＞0；當a∈（3，+∞），g（a）＜0．

所以方程 只有唯一解a=3

【解析】（1）利用導數求出x=0處的切線斜率，根據點斜式寫出切線方程；（2）函數f（x）在（﹣3，0）上單調遞減，即當x∈（﹣3，0）時，x2+2x﹣a≤0恒成立．要使得“當x∈（﹣3，0）時，x2+2x﹣a≤0恒成立”，等價于 即 所以a≥3．（3）根據函數的單調性，得出函數f（x）的最小值只能在 處取得．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．