Question

【題目】已知函數，，是的導函數.

（1）若，求的值；

（2）設.①若函數在定義域上單調遞增，求的取值范圍；②若函數在定義域上不單調，試判定的零點個數，并給出證明過程.

Answer 1

【答案】（1）（2）①；②函數必有三個不同零點.見解析

【解析】

（1）由以及即可得到；

（2）①在上恒成立，即在上恒成立，設，只需求出的最小值即可；②由，知不可能對恒成立，即在定義域上不可能始終都為減函數.進一步可得，設，與有相同的零點，對進行分析即可.

（1）由，得，

因為，所以，

所以.

（2）①因為，所以的定義域為，

.

因為函數在定義域上單調遞增，

所以在上恒成立，

即在上恒成立.

設，則，

當時，，則在上為減函數，

當時，，則在上為增函數，

所以在時恒成立，

所以.

②因為，

所以，則不可能對恒成立，

即在定義域上不可能始終都為減函數.

由①知函數在定義域上單調遞增，

所以若函數在定義域上不是單調函數.

又因為，所以是函數一個零點.

令，得，

設，則與有相同的零點，

令，得.

因為，所以，

所以有兩個不相等實數解，，

因為，，所以不妨設.

當時，，在為增函數，

當時，，在為減函數，

當時，， 在為增函數，

則，.

又因為時，，，

，，

又因為在圖象不間斷，所以在有唯一一個零點，

又因為在圖象不間斷，所以在有唯一一個零點，

又因為是函數一個零點.

綜上函數必有三個不同零點.