Question

【題目】若函數對定義域內的每一個值，在其定義域內都存在唯一的，使成立，則稱該函數為“依賴函數”.

（1）判斷函數是否為“依賴函數”，并說明理由；

（2）若函數在定義域上為“依賴函數”，求的取值范圍；

（3）已知函數在定義域上為“依賴函數”.若存在實數，使得對任意的，不等式都成立，求實數的最大值.

Answer 1

【答案】（1）不是“依賴函數”；（2），（3）

【解析】

（1）取特殊值，得到，無解，由此證得不是“依賴函數”.（2）根據的單調性和函數值為正數，得到，化簡后求得的關系式，代入并化簡，利用二次函數單調性求得的取值范圍.（3）對分成，，兩種情況，根據“依賴函數”的定義，求得的值.由此化簡不等式，利用判別式和對鉤函數的性質，求得實數的最大值.

解：（1）對于函數的定義域內存在，則，無解.

故不是“依賴函數”；

（2）因為在遞增，故，即，

由，故，得，

從而在上單調遞增，故，

（3）①若，故在上最小值為0，此時不存在，舍去；

②若故在上單調遞減，

從而，解得（舍）或.

從而，存在，使得對任意的，有不等式都成立，

即恒成立，由，

得，由，可得，

又在單調遞減，故當時，，

從而，解得，

綜上，故實數的最大值為．