Question

【題目】如圖，四邊形是平行四邊形，，，，，，.

（1）求證：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

（3）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

取AB中點O，推導出，，，從而平面ABCD，進而，再求出，從而平面AED，由此能證明平面平面AED；
過A作于點G，則即為直線AB與平面BED所成的角，由此能求出直線AB與平面BED所成角的正弦值；
3二面角的平面角與二面角的平面角互補，從而問題轉化為求二面角的正弦值，過A作于點G，過A作于點H，則即為二面角的平面角，由此能求出二面角的正弦值．

（1）證明：取中點，

易知四邊形是平行四邊形，

則又，，

∴，

∴

又，，

∴，

∴

又，

∴平面，

∴

在中，由

得，

∴

∴，又，

∴面

又平面，

∴平面平面

（2）過作于點，

由（1）知平面，

則即為直線與平面所成的角

又

∴

∴直線與平面所成角的正弦值為

（3）∵二面角的平面角與二面角的平面角互補，

∴問題轉化為求二面角的正弦值

過作于點，過作于點，

由（1）知即切二面角的平面角

∵∴

又∴

∴二面角的正弦值為.