Question

【題目】已知數列滿足，其中，是不為1的常數．

（Ⅰ）證明：若是遞增數列，則不可能是等差數列；

（Ⅱ）證明：若是遞減的等比數列，則中的每一項都大于其后任意個項的和；

（Ⅲ）若，且是遞增數列，是遞減數列，求數列的通項公式．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由是遞增數列，則，利用反證法假設數列是等差數列，得，解得或，可知假設不成立；（Ⅱ）由是遞減數列，得

，因為數列是等比數列，所以，得，則，公比，故，由于，得

，又

，且

，故，

即，得證；（Ⅲ）由是遞增數列，得，則，由，得，所以，同理，由是遞減數列，得，故，所以，

累加可得.

試題解析：（Ⅰ）因為是遞增數列，所以。

由于，所以。

假設數列是等差數列，那么成等差數列。

所以，因而，解得或。

由已知，當，這與是遞增數列矛盾，故的值不存在。

所以數列不可能是等差數列。

（Ⅱ）因為是遞減數列，所以。

因為，所以。

因為數列是等比數列，

所以，得或（舍去）。

則，公比，故。

設，那么。

因為，

所以。

因為

而，即，

所以。

即：數列中的每一項大于其后任意個項的和。

（Ⅲ）由于是遞增數列，所以，

所以。 ①

因為，所以。 ②

由①②知，，因此。 ③

因為是遞減數列，同理，，

故。 ④

由③④可知，。

因此

。

所以數列的通項公式為。