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【題目】設函數的定義域為I，區間，記.證明：

（1）函數在區間D上單調遞增的充要條件是：，都有；

（2）函數在區間D上單調遞減的充要條件是：，都有.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）先證明充分性，利用函數單調性的定義以及題設條件得出在D上單調遞增，再證必要性，不妨設，則，由函數在D上單調遞增，得出，即可證明；

（2）先證明充分性，利用函數單調性的定義以及題設條件得出在D上單調遞減，再證必要性，不妨設，則，由函數在D上單調遞減，得出，即可證明；

證明：（1）充分性：不妨設，則

即在D上單調遞增.

必要性：若在D上單調遞增.

則，不妨設，則.

.

即，都有.

（2）充分性：不妨設，則，

，即，

在D上單調遞減.

必要性：若在D上單調遞減.

，不妨設，則.

即，都有.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為矩形，二面角A-CD-F為60°，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，DE=DC=3，CF=6.

（1）求證：BF∥平面ADE；

（2）在線段CF上求一點G，使銳二面角B-EG-D的余弦值為.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知斜三棱柱的側面與底面垂直，，，且，，求：

（1）側棱與底面所成角的大�。�

（2）求點到平面的距離.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知向量， .

（1）若分別表示將一枚質地均勻的正方體骰子（六個面的點數分別為1,2,3,4,5,6），先后拋擲兩次時第一次、第二次出現的點數，求滿足的概率；

（2）若在連續區間上取值，求滿足的概率.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】“中國式過馬路”存在很大的交通安全隱患．某調查機構為了解路人對“中國式過馬路”的態度是否與性別有關，從馬路旁隨機抽取30名路人進行了問卷調查，得到了如下列聯表：

項目

男性

女性

總計

反感

10

不反感

8

總計

30

已知在這30人中隨機抽取1人抽到反感“中國式過馬路”的路人的概率是.

(1)請將上面的列聯表補充完整(直接寫結果，不需要寫求解過程)，并據此資料分析反感“中國式過馬路”與性別是否有關？

(2)若從這30人中的女性路人中隨機抽取2人參加一活動，記反感“中國式過馬路”的人數為X，求X的分布列和數學期望．

附：K2＝

.

P(K2≥k0)

0.10

0.05

0.010

0.005

k0

2.706

3.841

6.635

7.879

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分13分）如圖，在直角坐標系中，角的頂點是原點，始邊與軸正半軸重合．終邊交單位圓于點，且，將角的終邊按逆時針方向旋轉，交單位圓于點，記．

（1）若，求；

（2）分別過作軸的垂線，垂足依次為，記的面積為，的面積為，若，求角的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分）

圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，如圖所示，已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，設利用的舊墻的長度為x（單位：元）。

（Ⅰ）將y表示為x的函數；

（Ⅱ）試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用。

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：，其左、右焦點分別為，上頂點為，為坐標原點，過的直線交橢圓于兩點，.

（1）若直線垂直于軸，求的值；

（2）若，直線的斜率為，則橢圓上是否存在一點，使得關于直線成軸對稱？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，請說明理由；

（3）設直線:上總存在點滿足，當的取值最小時，求直線的傾斜角.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】對于定義在上的函數，若存在距離為的兩條直線和，使得對任意都有恒成立，則稱函數有一個寬度為的通道．給出下列函數：

①； ②； ③； ④．

其中在區間上有一個通道寬度為的函數是__________（寫出所有正確的序號）．

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