Question

已知函數f(x)=ln2(1+x)-

x2

1+x

．
（I）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若不等式(1+

1

n

)n+a≤e對任意的n∈N^*都成立（其中e是自然對數的底數）．求a的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）①函數f（x）的定義域是（-1，+∞）求f′（x）判斷f′（x）正負②由于f′（x）比較復雜令分子為g（x）判斷g（x）單調性從而判斷函數值正負③再令h（x）=g′（x），可求當-1＜x＜0時，h'（x）＞0，h（x）在（-1，0）上為增函數，當x＞0時，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上為減函數h（x）在x=0處取得極大值，而h（0）=0，所以g'（x）＜0函數g（x）在（-1，+∞）上為減函數于是當-1＜x＜0時，g（x）＞g（0）=0，當x＞0時，g（x）＜g（0）=0．
（Ⅱ）借用（Ⅰ）結論將題設中不等式變形即可求出a最大值．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域是（-1，+∞），f′(x)=

2ln(1+x)

1+x

-

x2+2x

(1+x)2

=

2(1+x)ln(1+x)-x2-2x

(1+x)2

．
設g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x，則g'（x）=2ln（1+x）-2x．
令h（x）=2ln（1+x）-2x，則h′(x)=

2

1+x

-2=

-2x

1+x

．
當-1＜x＜0時，h'（x）＞0，h（x）在（-1，0）上為增函數，
當x＞0時，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上為減函數．
所以h（x）在x=0處取得極大值，而h（0）=0，所以g'（x）＜0（x≠0），
函數g（x）在（-1，+∞）上為減函數．
于是當-1＜x＜0時，g（x）＞g（0）=0，
當x＞0時，g（x）＜g（0）=0．
所以，當-1＜x＜0時，f'（x）＞0，f（x）在（-1，0）上為增函數．
當x＞0時，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上為減函數．
故函數f（x）的單調遞增區間為（-1，0），單調遞減區間為（0，+∞）．
（Ⅱ）不等式(1+

1

n

)n+a≤e等價于不等式(n+a)ln(1+

1

n

)≤1．
由1+

1

n

＞1知，a≤

1

ln(1+ 1 n )

-n．
設G(x)=

1

ln(1+x)

-

1

x

，x∈(0，1]，
則G′(x)=-

1

(1+x)ln2(1+x)

+

1

x2

=

(1+x)ln2(1+x)-x2

x2(1+x)ln2(1+x)

．
由（Ⅰ）知，ln2(1+x)-

x2

1+x

≤0，即（1+x）ln²（1+x）-x²≤0．
所以G'（x）＜0，x∈（0，1]，于是G（x）在（0，1]上為減函數．
故函數G（x）在（0，1]上的最小值為G(1)=

1

ln2

-1．
所以a的最大值為

1

ln2

-1．

點評：本題考查函數單調性問題由于導函數過于復雜方法中多次求導