Question

【題目】已知橢圓（）的一個焦點與拋物線的焦點重合，截拋物線的準線所得弦長為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖所示，，，是橢圓的頂點，是橢圓上除頂點外的任意一點，直線交軸于點，直線交于點，設的斜率為，的斜率為.證明：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）由橢圓與拋物線的焦點相同可知橢圓的焦點為,即,且拋物線的準線為,再由弦長為1可得橢圓與準線的一個交點為,即可代入橢圓方程中,進而求解即可；

（2）由（1）可得點的坐標,設直線的方程為（,）,與橢圓方程聯立可得點的坐標,由直線的方程為與直線的方程聯立可得點的坐標,再根據三點共線可得點的坐標,即可求得的斜率,進而得證.

（1）解:由題,橢圓焦點即為拋物線的焦點為,準線方程為,①,

又橢圓截拋物線的準線所得弦長為1,

∴可得一個交點為,②,由①②可得,

從而,

∴該橢圓的方程為

（2）證明:由（1）可得,且點不為橢圓頂點,

則可設直線的方程為（,）,③

③代入,解得,

因為直線的方程為④

③與④聯立解得,

由,,三點共線知,即,解得,

所以的斜率為,

則（定值）.