Question

【題目】如圖，在四棱錐中，面，，且，，為的中點．

（1）求證：平面平面；

（2）若二面角為，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）在直角梯形中，由條件可得，即．再由面，得，利用線面垂直的判定可得平面，進一步得到平面平面；

（2）由（1）知，，則為二面角的平面角為，求得．以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，求出的坐標及平面的一個法向量，由與所成角的余弦值可得直線與平面所成角的正弦值．

（1）證明：在直角梯形中，由已知可得，，

可得，

過作，垂足為，則，求得，

則，∴．

∵面，

∴，

又，∴平面，

∵平面，

∴平面平面；

（2）解：由（1）知，，則為二面角的平面角為，

則．

以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，

則，，，，

．

設平面的一個法向量為，

由，取，得．

∴直線與平面所成角的正弦值為：

．