Question

【題目】小王在年初用50萬元購買一輛大貨車，第一年因繳納各種費用需支出6萬元，從第二年起，每年都比上一年增加支出2萬元，假定該車每年的運輸收入均為25萬元．小王在該車運輸累計收入超過總支出后，考慮將大貨車作為二手車出售，若該車在第x年年底出售，其銷售價格為25－x萬元（國家規定大貨車的報廢年限為10年）．

（1）大貨車運輸到第幾年年底，該車運輸累計收入超過總支出？

（2）在第幾年年底將大貨車出售，能使小王獲得的年平均利潤最大（利潤＝累計收入＋銷售收入－總支出）?

Answer 1

【答案】（1）從第3年開始運輸累計收入超過總支出（2）第5年年底將大貨車出售

【解析】

試題分析：（1）由n總收入減去總支出得到大貨車到第n年年底的運輸累計收入與總支出的差，然后求解一元二次不等式得答案；（2）由利潤=累計收入+銷售收入-總支出得到第n年年底將大貨車出售時小王獲得的年利潤，然后利用基本不等式求最值

試題解析：（1）設大貨車到第x年年底的運輸累計收入與總支出的差為y萬元則y＝25x－－50，

（0＜x≤10，x∈N），即y＝－x2＋20x－50，（0＜x≤10，x∈N），

由－x2＋20x－50＞0，

解得10－5＜x＜10＋5，

而2＜10－5＜3，

故從第3年開始運輸累計收入超過總支出． 5分

（2）因為利潤＝累計收入＋銷售收入－總支出．

所以銷售二手貨車后，小王的年平均利潤為

＝ [y＋（25－x）]＝ （－x2＋19x－25）＝

19－，而19－≤19－2 ＝9， 11分

當且僅當x＝5時取得等號．即小王應當在第5年年底將大貨車出售，才能使年平均利潤最大 12分