Question

如圖，某小區準備在一直角圍墻ABC內的空地上植造一塊“綠地△ABD”，其中AB長為定值a，BD長可根據需要進行調節（BC足夠長）．現規劃在△ABD的內接正方形BEFG內種花，其余地方種草，且把種草的面積S₁與種花的面積S₂比

S1

S2

稱為“草花比y”．設∠DAB=θ，正方形BEFG的邊長為x．
（1）用θ表示x．
（2）將y表示為θ的函數關系式；
（3）若θ∈[

π

4

，

π

3

]，求 y的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于題目中“設∠DAB=θ，”，故可利用解三角形的知識解決“用θ表示x”；
（2）由（1）得S2=x2=(

a

1+ 1 tanθ

)2，再結合圖形中的面積關系即可將y表示為θ的函數關系式；
（3）因為θ∈[

π

4

，

π

3

]

&令

tanθ=t∈[1，

3

]利用y=

1

2

(t+

1

t

)在[1，

3

]上為增函數即可求得y的取值范圍．

解答：解：（1）設正方形BEFG邊長為x，則△AGF中，AG=

x

tanθ

，
于是有

x

tanθ

+x=a

&?x= a 1+ 1 tanθ

（2）由（1）得S2=x2=(

a

1+ 1 tanθ

)2
又S1=S△ABD-S2=

a2

2

tanθ-S2y=

S1

S2

=

a2 2 tanθ-S2

S2

=

1

2

tanθ(1+

1

tanθ

)2-1=

1

2

(tanθ+

1

tanθ

)
（3）因為θ∈[

π

4

，

π

3

]

&令

tanθ=t∈[1，

3

]
則y=

1

2

(t+

1

t

)在[1，

3

]上為增函數
則y的取值范圍為[1，

2 3

3

]．

點評：本題主要考查函數在實際生活中的應用、解三角形以及利用基本不等式求函數最值的方法，解決實際問題通常有幾個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果，其中關鍵是建立數學模型．