Question

【題目】已知函數，其中無理數.

（Ⅰ）若函數有兩個極值點，求的取值范圍；

（Ⅱ）若函數的極值點有三個，最小的記為，最大的記為，若的最大值為，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】分析：（Ⅰ）先對函數求導，構造，則函數有兩個極值點等價于 有兩個不等的正實根，對函數求導，然后對和進行討論，可得函數的單調性，結合，即可求得的取值范圍；（Ⅱ）對函數求導，由有三個極值點，則有三個零點，1為一個零點，其他兩個則為的零點，結合（Ⅰ），可得的兩個零點即為的最小和最大極值點，，即，令，由題知，則，令，利用導數研究函數的單調性，從而可求得的最小值即的最小值.

詳解：（Ⅰ），

令，，

∵有兩個極值點

∴ 有兩個不等的正實根

∵

∴當時，，在上單調遞增，不符合題意．

當時，當時，，當時，，

∴在上單調遞減，在上單調遞增．

又∵，當→時，→

∴

∴

綜上，的取值范圍是．

（Ⅱ）．

∵有三個極值點

∴有三個零點，1為一個零點，其他兩個則為的零點，由（Ⅰ）知.

∵

∴的兩個零點即為的最小和最大極值點，，即.

∴

令，由題知.

∴，，

∴

令，，則，令，則．

∴在上單調遞增

∴

∴在上單調遞減

∴

故的最小值為．