Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）求證：當時，.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）根據題意，對函數求導，利用導數研究函數單調性問題，分情況討論函數單調性；

（2）解法一：轉化思想，等價于設，只須證當時，成立，即可證明.

解法二：導出的不等式，要證，只須證；

解法三：同解法二，只須證，構造函數，運用放縮法，證明不等式；

解法四：要證，只須證.因為，所以（）所以只須證，即證；

解法五：要證，只須證，結合解法四的放縮法，因為，所以（）再結合解法三的放縮法，又 ，即可證明.

解法一：（1）函數的定義域為，

.

當時，在恒成立，故在單調遞增.

當時，由得.

當時，；當時，.

所以在單調遞增，在單調遞減.

綜上，當時，在單調遞增.

當時，在單調遞增，在單調遞減.

（2）由，等價于.

設，只須證當時，成立.

因為，

由，得有異號兩根，令其正根為，

則，從而.

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減.

所以的最大值為，

令，則，，

所以.

所以.

所以，所以當時，.

解法二：（1）同解法一.

（2）要證，只須證.①

設，則

令，則，在單調遞減，

又，，

所以存在惟一的，使.

當時，，從而，單調遞增；

當時，，，單調遞減.

所以的最大值為，

因為，所以，所以，

又，所以①式成立，所以當時，.

解法三：（1）同解法一.

（2）要證，只須證.①

令，則，

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

所以，所以.

所以，

要證①式成立，只須證.②

設，則

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減.

所以的最大值為，

又，所以②式成立，

所以當時，.

解法四：（1）同解法一.

（2）要證，只須證.

因為，所以（）

所以只須證，即證.①

設，

則（），

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減；

所以，所以①式成立，

所以當時，.

解法五：（1）同解法一.

（2）要證，只須證.

因為，所以（）

又（證明過程見解法三，考生未寫出證明過程扣1分）

所以只須證，即證，這顯然成立.

所以當時，.