Question

【題目】已知函數的圖像過點，且對任意的都有不等式成立.若函數有三個不同的零點，則實數的取值范圍是__________________.

Answer 1

【答案】

【解析】

首先由函數的性質確定函數的解析式，然后將原問題轉化為兩個函數有三個交點的問題，考查臨界條件，求得臨界值即可確定實數的取值范圍.

注意到時,,

即是函數的切線，且切點坐標為，

據此結合題意可知：是函數的切線，且切點坐標為，

由函數的解析式有，故：

，解得：，

則函數的解析式為，

函數有三個不同的零點，

則函數與函數有三個不同的交點，

注意到，

繪制函數圖像如圖所示，考查如圖所示的臨界情況，

當函數與函數只有兩個交點時：

若一次函數過點，則：且,解得；

若一次函數過點，則：且,解得；

若一次函數與二次函數在區間內相切，

由可得，

設切點坐標為，則切線的斜率為：，

切線方程為：，

整理可得：，

由于，考查一次函數斜率與軸截距的關系可得：

，解得：，

則切線的斜率為：.

綜上可得：實數的取值范圍是.