Question

【題目】已知函數，，當時，恒有；

（1）求的表達式；

（2）設不等式，的解集為，且，求實數的取值范圍；

（3）若方程的解集為，求實數的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由已知中函數，，當時，恒有，我們可以構造一個關于方程組，解方程組求出的值，進而得到的表達式；

（2）由（1）中函數的表達式，利用對數函數的單調性，我們可將不等式，轉化為一個分式不等式，由不等式，的解集為，且，可以構造出關于的不等式，解不等式即可求出滿足條件的實數的取值范圍.

（3）根據對數的運算性質，轉化為一個關于的分式方程組，進而根據方程

的解集為，則方程組至少一個方程無解或兩個方程的解集的交集為空集，分類討論后，即可得到答案.

（1）當時，恒有；

，即恒成立，

，又，即，從而.

.

（2）由不等式，

即，且，

由于解集，故，

所以，即，

又因為，所以實數的取值范圍為.

（3），

方程的解集為，故有兩種情況：

①方程無解，即，得；

②方程有解，兩根均在內，

令，

則，

綜上①②得實數的取值范圍.