Question

設，函數．
（1）當時，求在內的極大值；
（2）設函數，當有兩個極值點時，總有，求實數的值.（其中是的導函數．）

Answer 1

（1）1;（2） .

試題分析：（1）當時，求, 令，求,利用的單調性，求的最大值，利用的最大值的正負，確定的正負，從而確定的單調性，并確定的正負，即的正負，得到的單調性，確定極大值，此題確定極大值需要求二階導數，偏難；（2）先求函數，再求,由方程有兩個不等實根, 確定的范圍，再將代入，再整理不等式，討論,,三種情況，反解，從而利于恒成立求出的范圍.屬于較難試題.
試題解析：（1）當時，，
則，                 2分
令，則，
顯然在內是減函數，
又因，故在內，總有，
所以在上是減函數                           4分
又因，                                               5分
所以當時，，從而，這時單調遞增，
當時，，從而，這時單調遞減，
所以在的極大值是．                         7分
（2）由題可知，
則．                        8分
根據題意，方程有兩個不同的實根，（），
所以，即，且，因為，所以.
由，其中，可得

注意到，
所以上式化為，
即不等式對任意的恒成立      10分
（i）當時，不等式恒成立，；
（ii）當時，恒成立，即．
令函數，顯然，是上的減函數，
所以當時，，所以；      12分
（iii）當時，恒成立，即．
由（ii），當時，，所以       14分
綜上所述，．                                          15分