Question

【題目】已知函數（為常數，且），且數列是首項為，公差為的等差數列.

（1）求證：數列是等比數列；

（2）若，當時，求數列的前項和的最小值；

（3）若，問是否存在實數，使得是遞增數列？若存在，求出的范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）最小值為；（3）存在實數滿足條件.

【解析】

（1）運用等差數列的通項公式和對數的定義，可得，再由等比數列的定義即可得證；

（2）求得、，再由等差數列和等比數列的求和公式，運用單調性即可得到最小值；

（3）由題意可得對一切成立．討論，，運用數列的單調性即可得到所求的范圍．

（1）由題意，即，

，

常數且，為非零常數，

因此，數列是以為首項，為公比的等比數列；

（2）當時，，，

所以，

因為，所以，是遞增數列，

因而最小值為；

（3）由（1）知，，要使對一切成立，

即對一切成立.

當時，，對一切恒成立；

當時，，對一切恒成立，只需，

，所以，數列單調遞增，當時，.

，且， .

綜上所述，存在實數滿足條件.