Question

【題目】已知函數 ，直線l：x﹣ty﹣2=0．
（1）若直線l與曲線y=f（x）有且僅有一個公共點，求公共點橫坐標的值；
（2）若0＜m＜n，m+n≤2，求證：f（m）＞f（n）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，得f′（x）= （x＞0），

當x∈（0，1）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增，

根據直線l的方程x=ty+2，可得l恒過點（2，0），

①當t=0時，直線l：x=2垂直x軸，與曲線y=f（x）相交于一點，即交點橫坐標為2；

②當t≠0時，設切點A（x0，y0），直線l可化為 ，斜率k= =f′（x0）= ，

又直線l和曲線y=f（x）均過點A（x0，y0），則滿足 ，

∴ = = = = ，兩邊約去t后，

可得 ，化簡得 ，

解得： ，

綜上所述，該公共點的橫坐標為2和 ；

（2）證明：①若0＜m＜n≤1時，由（1）可知，f（x）在（0，1）上單調遞減，

∴f（m）＞f（n）；

②若0＜m＜1，n＞1時，欲證f（m）＞f（n），由題意m+n≤2，由（1）可知f（x）在（1，+∞）上單調遞減，

只需證f（m）＞f（2﹣m）對m∈（0，1）恒成立即可．

設函數φ（m）=f（m）﹣f（2﹣m），則 ，

即 ，

設 ，則 ，

易知x∈（0，2）時，h'（x）＜0，h（x）單調遞減，x∈（2，+∞）時，h'（x）＞0，h（x）單調遞增，

當m∈（0，1）時，有2﹣m∈（1，2），且滿足2﹣m＞m，故h（m）﹣h（2﹣m）＞0，

即 ，又m﹣1＜0，則φ'（m）＜0，

∴φ（m）在（0，1）上單調遞減，有φ（m）＞φ（1）=0，

即f（m）＞f（2﹣m），故f（m）＞f（n）．

綜上，f（m）＞f（n）．

【解析】（1）求出原函數的導函數，得到函數的單調區間，由直線方程可知直線過定點，然后分t=0和t≠0分類求解A的橫坐標；（2）若0＜m＜n≤1時，由（1）可知，f（x）在（0，1）上單調遞減，可得f（m）＞f（n）；若0＜m＜1，n＞1，把證明f（m）＞f（n）轉化為證f（m）＞f（2﹣m）對m∈（0，1）恒成立即可．構造函數φ（m）=f（m）﹣f（2﹣m），利用兩次求導加以證明．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．