Question

【題目】已知橢圓中心在原點，焦點在軸上，離心率，點分別為橢圓的左右焦點，過右焦點且垂直于長軸的弦長為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過橢圓左焦點作直線，交橢圓于兩點，若，求直線的傾斜角.

Answer 1

【答案】（1）；（2）傾斜角是或.

【解析】

（1）設橢圓的標準方程為，利用已知條件及，，的關系列出方程，進一可得出橢圓的方程；

（2）設直線的方程為，點，，與橢圓的方程聯立，得到根與系數的關系，再利用數量積進行分析計算，即可得出，進而得到斜率和傾斜角.

（1）設橢圓方程為，

因為，所以.據題意，點在橢圓上，則，

于是，

因為，，則，.

故橢圓的方程為；

（2）由橢圓方程知，點，，

若直線的斜率不存在，則直線的方程為，代入橢圓方程得，

不妨設點，則，

所以直線的斜率存在，

設直線的方程為，點，.

由，得，

所以，，

于是

.

又，，

，

由，得，所以.此時直線與橢圓相交，

故直線的傾斜角是或.