Question

【題目】已知函數.

（1）求證：是上的奇函數；

（2）求的值；

（3）求證：在上單調遞增，在上單調遞減；

（4）求在上的最大值和最小值；

（5）直接寫出一個正整數，滿足．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析；（4）最大值，最小值；（5）答案不唯一，具體見解析.

【解析】

（1）利用奇偶性的定義證明即可；

（2）代值計算即可得出的值；

（3）任取，作差，通分、因式分解后分和兩種情況討論的符號，即可證明出結論；

（4）利用（3）中的結論可求出函數在區間上的最大值和最小值；

（5）可取滿足的任何一個整數，利用函數的單調性和不等式的性質可推導出成立.

（1）函數的定義域為，定義域關于原點對稱，

且，因此，函數是上的奇函數；

（2）；

（3）任取，.

當時，，，，則；

當時，，，，則.

因此，函數在上單調遞增，在上單調遞減；

（4）由于函數在上單調遞增，在上單調遞減，

當時，函數取最大值，即；

當時，，

所以，當時，函數取最小值，即.

綜上所述，函數在上的最大值為，最小值為；

（5）由于函數在上單調遞減，

當時，，

所以，滿足任何一個整數均滿足不等式.

可取，滿足條件.