Question

【題目】設、為曲線上兩點，與的橫坐標之和為.

（1）求直線的斜率；

（2）設弦的中點為，過點、分別作拋物線的切線，則兩切線的交點為，過點作直線，交拋物線于、兩點，連接、.證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）設點、，可得出，，，然后利用斜率公式可計算出直線的斜率；

（2）利用導數求出和，可證明出，設直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯立，列出韋達定理，求出點的坐標，求出切線方程，可求出點的坐標，設直線的方程，與拋物線的方程聯立，利用韋達定理結合斜率公式求出，即可證得結論.

（1）設點、，可得出，，，

所以，直線的斜率；

（2）由（1）知，等價于證明，

設直線的方程為，聯立，消去得，

由韋達定理得，，

對于函數，求導得，

，，，

拋物線在點處的切線方程為，整理得，

同理，拋物線在點處的切線的方程為，

聯立方程組，解得，，.

設、，易知直線的斜率存在，

因為，設直線的方程為，

代入拋物線，整理得，

則，.

所以，

，

，

，，則點，

所以，，

所以.

綜上可得，所以.