Question

【題目】已知定義在上的函數滿足：①對任意實數，，都有；②對任意，都有.

（1）求，并證明是上的單調增函數；

（2）若對恒成立，求實數的取值范圍；

（3）已知，方程有三個根，若，求實數.

Answer 1

【答案】（1），證明見詳解；（2）；（3）.

【解析】

（1）對抽象函數進行賦值，令，，即可求得；根據單調性的定義，作差，比較大小，定號即可證明；需要注意抽象函數在作差時的變形；

（2）利用函數的單調性，將問題轉化為絕對值不等式恒成立的問題，再利用絕對值三角不等式求得最值，即可得到的取值范圍.

（3）構造函數，從而將問題轉化為函數圖像交點的問題，數形結合，再利用，即可求解.

（1）令，，則代入條件①，

得：又，則；

設，則

，

因為任意，都有，則，

令，則且，都有，

則對任意都有

則，所以，

所以：是上的單調增函數.

（2）由條件恒成立；

可化為，

即：，

即對恒成立.

因，

故只需.

解得.

（3）設，顯然，

∴，

方程等價于

即：，

∵且可改寫為：，

由，

又當時，，

∴，畫出函數圖像如下所示：

于是，∴，

由或，

∵，∴，，，

由已知條件，∴，

即，

又，

∴.