Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間和極值；

（2）若不等式在區間上恒成立，求實數的取值范圍；

（3）求證：.

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間為，單調遞減區間為，的極大值為，無極小值；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

（1）先求導數，再求導函數零點，列表分析導函數符號變化規律，進而確定單調區間和極值；（2）先分離變量，轉化為對應函數最值，再利用導數求對應函數最值，即得結果，（3）利用（2）得，即得，再利用放縮以及裂項相消法求和，即得結果.

解：（1）∵，其定義域為，

∴，

令，得，

令，得.

故函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為，

的極大值為，無極小值.

（2）∵，，

∴，令，

則，

令，解得.

當在內變化時，，的變化情況如下表：

	+	0	-

由表知，當時，函數有最大值，且最大值為，∴，

∴實數的取值范圍為.

（3）由（2）知，，

∴，

∴.

∵

，

∴，

即.