Question

【題目】已知橢圓中心在坐標原點O，焦點在軸上，長軸長是短軸長的2倍，且經過點M（2，1），直線平行OM，且與橢圓交于A、B兩個不同的點。

(Ⅰ)求橢圓方程；

(Ⅱ)若AOB為鈍角，求直線在軸上的截距的取值范圍；

(Ⅲ)求證直線MA、MB與軸圍成的三角形總是等腰三角形。

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；(Ⅲ)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）設橢圓方程 ，利用長軸長是短軸長的2倍，且經過點M（2，1），建立方程組，即可求得橢圓方程；（2）設l方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理及∠AOB為鈍角，結合向量知識，即可求直線l在y軸上的截距m的取值范圍；（3）依題即證kAM+kBM=0，利用韋達定理代入，即可證得結論．

解析：

（1）解：設橢圓方程，依題意可得可得 所以橢圓方程為

（2）解：設l方程為： 與橢圓方程聯立得：x2+2mx+2m2﹣4=0

由韋達定理得：x1+x2=﹣2m， ；

設A（x1，y1），B（x2，y2），

因為∠AOB為鈍角，所以

又直線l平行OM，

（3）證明：依題即證kAM+kBM=0

將直線代入上式得到，得

韋達定理代入得，上式=0.得證。