Question

【題目】已知f （x）、g（x）都是定義在R上的函數，如果存在實數m、n使得h （x）=m f（x）+ng（x），那么稱h （x）為f （x）、g（x）在R上生成的函數．
設f （x）=x2+x、g（x）=x+2，若h （x）為f （x）、g（x）在R上生成的一個偶函數，且h（1）=3，則函數h（﹣1）=h （x）= ．

Answer 1

【答案】3；﹣3x2+6
【解析】解：h（x）=mf（x）+ng（x）
=m（x2+x）+n（x+2）
=mx2+（m+n）x+2n；
h（x）為偶函數；
∴m+n=0①；
又h（1）=3；
∴m+m+n+2n=3②；
聯立①②解得m=﹣3，n=3；
∴h（﹣1）=3，h（x）=﹣3x2+6．
所以答案是：3，﹣3x2+6．
【考點精析】本題主要考查了函數奇偶性的性質的相關知識點，需要掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能正確解答此題．