Question

若存在實常數和，使得函數和對其定義域上的任意實數分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，為自然對數的底數)．
（1）求的極值；
（2）函數和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）當時，取極小值，其極小值為（2）函數和存在唯一的隔離直線

試題分析：(1) ，
．        
當時，．                     
當時，，此時函數遞減； 
當時，，此時函數遞增；
∴當時，取極小值，其極小值為．   …………………………………6分   
(2)解法一：由（1）可知函數和的圖象在處有公共點，因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個公共點．          
設隔離直線的斜率為，則直線方程為，即．                                
由，可得當時恒成立．
，                             
由，得．                       
下面證明當時恒成立．
令，則
，                
當時，．
當時，，此時函數遞增；
當時，，此時函數遞減；
∴當時，取極大值，其極大值為．   
從而，即恒成立．            
∴函數和存在唯一的隔離直線．……………12分 
解法二： 由(1)可知當時， (當且僅當時取等號) ．
若存在和的隔離直線，則存在實常數和，使得
和恒成立，
令，則且
，即．                    
后面解題步驟同解法一．
點評：求函數極值要首先確定定義域，通過導數等于零找到極值點，但要說明是極大值還是極小值，第二問中將不等式恒成立問題轉化為求函數最值問題，這種轉化思路是函數綜合題中常用的思路，其中找到函數和的圖象在處有公共點是求解的關鍵