Question

【題目】通過研究學生的學習行為，心理學家發現，學生接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間，講座開始時，學生的興趣激增，中間有一段不太長的時間，學生的興趣保持理想的狀態，隨后學生的注意力開始分散，分析結果和實驗表明，用表示學生掌握和接受概念的能力（的值越大，表示接受能力越強），表示提出和講授概念的時間（單位：分），可以有以下公式： ．

（1）開講多少分鐘后，學生的接受能力最強？能維持多少分鐘？

（2）開講5分鐘與開講20分鐘比較，學生的接受能力何時強一些？

（3）一個數學難題，需要55的接受能力以及13分鐘的時間，老師能否及時在學生一直達到所需接受能力的狀態下講授完這個難題？

Answer 1

【答案】（1）能維持6分鐘時間（2）開講5分鐘時學生的接受能力比開講20分鐘時要強一些（3）來不及

【解析】試題分析：（1）當時，函數為二次函數，對稱軸為，開口向下故在這個區間上單調遞增，當時取得最大值為.當時，函數為減函數，且，故開講分鐘后達到最大值，維持分鐘.（2）通過比較的值可知開講分鐘時接受能力更強.（3）在區間上分別令函數值為，求得對應的時間，作差后可知老師來不及講授完.

試題解析：

（1）當時，

故在時遞增，最大值為

當時，

當時， 為減函數，且

因此，開講10分鐘后，學生達到最強接受能力（為59），能維持6分鐘時間．

（2）

故開講5分鐘時學生的接受能力比開講20分鐘時要強一些

（3）當時，令，解得或20（舍）

當時，令，解得

因此學生達到（含超過）55的接受能力的時間為（分）

老師來不及在學生一直達到所需接受能力的狀態下講授完這個難題．