Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）若方程有兩個實數根，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

（1）由題意，求得函數的導數，分類討論，即可求解函數的單調區間；

（2）令，知單調遞增且有大于0的零點，不妨設為，若有有兩個零點，需滿足，即，令，

得出在上單調遞減，求得的解集為，當時，，即，進而利用函數的單調性求解.

（1）由題可得，

當時，，在上單調遞增；

當時，，，在上單調遞增；

，，在上單調遞減.

（2）令，，易知單調遞增且一定有大于0的零點，不妨設為，，即，，

故若有有兩個零點，需滿足，

即 ，

令，，所以在上單調遞減.

，所以的解集為，

由，所以.

當時，，

有，

令，

由于，所以，，

故，所以，

故，在上有唯一零點，另一方面，在上，

當時，由增長速度大，所以有，

綜上，.