Question

【題目】已知函數f（x）=2sinxcosx+2 cos2x﹣
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調減區間；
（2）已知△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中a=7，若銳角A滿足f（ ﹣ ）= ，且sinB+sinC= ，求bc的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=2sinxcosx+2 cos2x﹣ =sin2x+ cos2x=2sin（2x+ ），

∵ω=2，∴f（x）的最小正周期T=π，

∵2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，

∴f（x）的單調減區間為[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z

（2）解：由f（ ﹣ ）=2sin[2（ ﹣ ）+ ]=2sinA= ，即sinA= ，

∵A為銳角，∴A= ，

由正弦定理可得2R= = = ，sinB+sinC= = ，

∴b+c= × =13，

由余弦定理可知：cosA= = = ，

整理得：bc=40

【解析】（1）f（x）解析式利用二倍角正弦、余弦函數公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式求出最小正周期，由正弦函數的單調性確定出f（x）的單調遞減區間即可；（2）由f（x）解析式，以及f（ ﹣ ）= ，求出A的度數，將sinB+sinC= ，利用正弦定理化簡，求出bc的值即可．