Question

【題目】設各項均為整數的無窮數列滿足：，且對所有，均成立.

（1）寫出的所有可能值（不需要寫計算過程）；

（2）若是公差為1的等差數列，求的通項公式；

（3）證明：存在滿足條件的數列，使得在該數列中，有無窮多項為2019.

Answer 1

【答案】（1），，，1，3，5，7；（2），；（3）證明見解析.

【解析】

（1）通過列舉法表示出所有可能值

（2）分析可知表示的是原數列中的奇數項，求得奇數項的通項公式，再利用相鄰兩項差的絕對值的關系構造關系式解出偶數項，進而求得通項

（3）可利用（2）中的數列，構造一個循環數列，則可證明循環數列中存在無窮多項為2019

（1），，，1，3，5，7；

（2）是公差為1的等差數列，

數列的所有奇數項為公差為1的等差數列，

當時，

當時，由可知：，即

解得：，；

（3）由（2）可知存在一個數列使得奇數項為從1開始的連續自然數，則易知，

然后自4037項開始，構造奇數項為公差為的等差數列，由（2）可知，

當，時，

當時，由可知

即，解得：

則當奇數項取至1時，重復第一段的數列，得到一個周期數列，在此周期數列中，存在無窮多項為2019，即可得證．