Question

【題目】已知數列{an}是以d為公差的等差數列，{bn}數列是以q為公比的等比數列．

（1）若數列{bn}的前n項和為Sn，且a1＝b1＝d＝2，S3＜a1003+5b2﹣2010，求整數q的值；

（2）在（1）的條件下，試問數列中是否存在一項bk，使得bk恰好可以表示為該數列中連續p（p∈N，p≥2）項的和？請說明理由；

（3）若b1＝ar，b2＝as≠ar，b3＝at（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的約數），求證：數列{bn}中每一項都是數列{an}中的項．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）不存在；（3）詳見解析.

【解析】

（1）先求an＝2n，利用等比數列得的不等式求解即可；（2）反證法推得矛盾即可；（3）由b1＝ar，得，進而得q是整數，且q≥2，再證明對于數列中任一項bi （i＞3）一定是數列{an}的項即可

（1）由題意知，an＝2n，bn＝2qn﹣1，所以由S3＜a1003+5b2﹣2010，

可得到b1+b2+b3＜a1003+5b2﹣2010b1﹣4b2+b3＜2006﹣2010q2﹣4q+3＜0．

解得1＜q＜3，又q為整數，所以q＝2；

（2）假設數列{bn}中存在一項bk，滿足bk＝bm+bm+1+bm+2++bm+p﹣1，

因為bn＝2n，∴bk＞bm+p﹣12k＞2m+p﹣1k＞m+p﹣1k≥m+p（*）

又

＝2m+p﹣2m＜2m+p，所以k＜m+p，此與（*）式矛盾．

所以，這樣的項bk不存在；

（3）由b1＝ar，得b2＝b1q＝arq＝as＝ar+（s﹣r）d，

則

又，

從而，

因為as≠arb1≠b2，所以q≠1，又ar≠0，

故．又t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的約數，

所以q是整數，且q≥2，

對于數列中任一項bi（這里只要討論i＞3的情形），

有bi＝arqi﹣1＝ar+ar（qi﹣1﹣1）

＝ar+ar（q﹣1）（1+q+q2+ +qi﹣2）

＝ar+d（s﹣r）（1+q+q2+ +qi﹣2）

＝ar+[（（s﹣r）（1+q+q2+ +qi﹣2）+1）﹣1]d，

由于（s﹣r）（1+q+q2+ +qi﹣2）+1是正整數，所以bi一定是數列{an}的項．

故得證．