Question

（本小題滿分14分）
已知二次函數的圖象過點，且函數對稱軸方程為.
（Ⅰ）求函數的解析式；
（Ⅱ）設函數，求在區間上的最小值；
（Ⅲ）探究：函數的圖象上是否存在這樣的點，使它的橫坐標是正整數，縱坐標是一個完全平方數？如果存在，求出這樣的點的坐標；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

解：(Ⅰ)　∵　的對稱軸方程為，∴　． ………… 2分
又的圖象過點（1，13），∴　，∴　．
∴　的解析式為． ………………………………………… 4分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)得： ……………………… 6分
結合圖象可知：當，；
當，；
當，．……………………………… 9分
∴ 綜上：　……………………………………… 10分
（Ⅲ）如果函數的圖象上存在符合要求的點，設為，其中為正整數，
為自然數，則，  　　　……………………………………… 11分
（法一）從而， 即 ． 
注意到是質數，且，又，
所以只有 ，  解得：．…………………………… 13分
因此，函數的圖象上存在符合要求的點，它的坐標為．………… 14分
（法二）從而的偶數，∴　的奇數
∴　取驗證得，當時符合
因此，函數的圖象上存在符合要求的點，它的坐標為．………… 14分

略