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(本小題滿分14分)
已知二次函數的圖象過點,且函數對稱軸方程為.
(Ⅰ)求函數的解析式;
(Ⅱ)設函數,求在區間上的最小值;
(Ⅲ)探究:函數的圖象上是否存在這樣的點,使它的橫坐標是正整數,縱坐標是一個完全平方數?如果存在,求出這樣的點的坐標;如果不存在,請說明理由.

解:(Ⅰ) ∵ 的對稱軸方程為,∴ . ………… 2分
的圖象過點(1,13),∴ ,∴ 
∴ 的解析式為. ………………………………………… 4分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)得: ……………………… 6分
結合圖象可知:當,;
;
,.……………………………… 9分
∴ 綜上: ……………………………………… 10分
(Ⅲ)如果函數的圖象上存在符合要求的點,設為,其中為正整數,
為自然數,則,     ……………………………………… 11分
(法一)從而, 即 . 
注意到是質數,且,又,
所以只有 ,  解得:.…………………………… 13分
因此,函數的圖象上存在符合要求的點,它的坐標為.………… 14分
(法二)從而的偶數,∴ 的奇數
∴ 取驗證得,當時符合
因此,函數的圖象上存在符合要求的點,它的坐標為.………… 14分
練習冊系列答案
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A.B.C.D.

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