Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數在上的單調性；

（2）是否存在正實數，使與的圖象有唯一一條公切線，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當時，在區間上單調遞減；當時，在上單調遞減；在上單調遞增；（2）存在，

【解析】

（1）對函數進行求導，對參數進行分類討論，即可容易求得函數的單調性；

（2）利用導數的幾何意義求得在任意一點處的切線方程，求得方程組，根據方程有唯一解，利用導數根據函數單調性，即可求得.

(1)，

當時，，所以，函數在上單調遞減；

當時，由得，由得，

所以，函數在上單調遞減；函數在上單調遞增.

(2)函數在點處的切線方程為

，即；

函數在點處的切線方程為

，即

由與的圖象有唯一一條公切線，

∴，由①得代入②消去，

整理得 ③

則此關于的方程③有唯一解，

令，

令，

由得；由得所以，函數在上單調遞增，在上單調遞減，

則，

（i）當時，二次函數在上顯然有一個零點，

時，由方程可得

而所以

則

所以二次函數在上也有一個零點，不合題意.

綜上，.

所以存在正實數，使與的圖象有唯一一條公切線.