Question

【題目】已知，，是關于的方程的兩個不等的實根，且，函數的定義域為，記，分別為函數的最大值和最小值.

（1）試判斷在上的單調性；

（2）設，若函數是奇函數，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）函數在上單調遞增；（2）.

【解析】

（1）利用函數單調性的定義或利用導數判斷在上的單調性；

（2）由（1）可知函數在上單調遞增，則，，求出.由是奇函數，可得，即求.

（1）解法一：對于，，設

則，

，

因為，，所以，，

所以，

因為，所以，

即，又，

所以，即，

所以函數在上單調遞增.

解法二：設，，

因為，是關于的方程的兩個不等的實根，

所以，

所以，等號當且僅當或時成立，

所以函數在上單調遞增.

（2）由（1）可知函數在上是單調遞增的，

所以，，

所以，

因為，為方程的兩個實根，

所以，，

所以，

所以，

所以，

因為是奇函數，所以對任意都成立，

即恒成立，

，所以，

即，

所以，即.