Question

【題目】選修4－1《幾何證明選講》

已知A、B、C、D為圓O上的四點,直線DE為圓O的切線,AC∥DE,AC與BD相交于H點

（1)求證:BD平分∠ABC;

（2)若AB=4,AD=6,BD=8,求AH的長.

Answer 1

【答案】（1) 詳見解析（2)3

【解析】

試題分析：（1) 證明BD平分∠ABC實質就是求角相等：由弦切角定理得CDE=DBC ，由平行得CDE=DCA ，由同弧對等角得DBA=DCA ，三者結合得DBA=DBC （2)求線段長，一般利用相似三角形得比例關系：由ABH∽DBC,得，而由等角轉化為等弦：由DBA=DBC 得AD=DC，，解得AH=3

試題解析：證明:（1)∵AC∥DE,∴CDE=DCA,又∵DBA=DCA,∴CDE=DBA

∵直線DE為圓O的切線,∴CDE=DBC

故DBA=DBC,即BD平分∠ABC

（2)∵CAB=CDB,且DBA=DBC,∴ABH∽DBC,∴

又EDC=DAC=DCA,∴AD=DC

∴, ∵AB=4,AD=6,BD=8∴AH=3