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已知函數.
（1）求函數在區間（為自然對數的底）上的最大值和最小值；
（2）求證：在區間上，函數的圖象在函數的圖象的下方；
（3）求證：≥ .

(1)，（２）證明見解析
（3）證明見解析

(1)∵-------------------------------------1分
當時，
∴函數在上為增函數-----------------------------------------3分
∴，--------------------------4分
（２）證明：令
則
∵當時，∴函數在區間上為減函數
∴
即在上，
∴在區間上，函數的圖象在函數的圖象的下方-----8分
（3）證明：∵
當時，不等式顯然成立
當時
∵＝-----①
-------------②-----10分
①+②得

≥（當且僅當時“＝”成立）---------------13分
∴當時，不等式成立
綜上所述得≥ .--------------------------14分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題共12分）已知函數（為自然對數的底數），（為常數），是實數集 上的奇函數．（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）討論關于的方程：的根的個數；
（Ⅲ）設，證明：（為自然對數的底數）．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數f(x)＝alnx＋bx,且f(1)＝－1，f′(1)＝0，
⑴求f(x)；
⑵求f(x)的最大值；
⑶若x＞0,y＞0,證明：lnx＋lny≤.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知在與時都取得極值．
（1）求的值；（2）若，求的單調區間和極值；

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

(本題滿分15分)已知a∈R，函數f (x) =x3 + ax2 + 2ax (x∈R)．     （Ⅰ）當a = 1時，求函數f (x)的單調遞增區間；      （Ⅱ）函數f (x) 能否在R上單調遞減，若是，求出a的取值范圍；若不能，請說明理由；  （Ⅲ）若函數f (x)在[-1，1]上單調遞增，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

對于函數。
（1）若在處取得極值，且的圖像上每一點的切線的斜率均不超過試求實數的取值范圍；
（2）若為實數集R上的單調函數，設點P的坐標為，試求出點P的軌跡所形成的圖形的面積S。

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

函數（）的圖象關于原點對稱，、分別為函數的極大值點和極小值點，且|AB|＝2，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函數的解析式；
（Ⅲ）若恒成立，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數
(1)設,當m≥時,求g(x)在[]上的最大值；
(2)若上是單調減函數，求實數m的取值范圍.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數f（x）=x3-ax2-3x.
（1）若f（x）在區間［1，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍；
（2）若x=-是f（x）的極值點，求f（x）在［1，a］上的最大值；
（3）在（2）的條件下，是否存在實數b，使得函數g（x）=bx的圖象與函數f（x）的圖象恰有3個交點，若存在，請求出實數b的取值范圍；若不存在，試說明理由.

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